\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[total={16cm,25cm}, top=3cm, left=3cm, includefoot]{geometry}
\author{Jimmy Found}
\begin{document}

\section*{Topologie a topologický prostor}
Systém $\tau$ podmnožin množiny $X$ se nazývá topologie na $X$ právě tehdy, má-li následující tři vlastnosti:
\begin{enumerate}
	\item Platí $\emptyset\in\tau$ a také $X\in\tau$.
	\item Jestliže $V_i\in\tau$ pro $i = 1, 2, \dots, n$, potom platí, že $V_1\cap v_2 \cap \cdots \cap V_n \in \tau$.
	\item Je-li $\{V_\alpha\}$ libovolný systém množin z $\tau$, potom platí $\bigcup_\alpha V_\alpha \in\tau$.
\end{enumerate}

Je-li $\tau$ topologie na $X$ a $X$ je libovolná množina, definujeme dvojici $(X,\tau)$ jako topologický prostor. Můžeme také říkat, že $X$ je topologický prostor s topologií $\tau$. Libovolnému prvku se systému $\tau$ říkáme \textit{otevřená množina}.
\\

Jsou-li $(X,\tau), (Y,\theta)$ topologické prostory a zobrazení $f: X\to Y$, pak říkáme, že $f$ je spojité, jestli pro každou otevřenou množinu $V\subset Y$ platí, že $f^{-1}(V)$ je otevřená množina. Matematicky zapsáno
\begin{align*}
	\text{Zobrazení f je spojité } \Longleftrightarrow \left( V\in\theta \Longrightarrow f^{-1}(V)\in\tau\right).
\end{align*}

\section*{$\mathbf{\sigma}$-algebra a měřitelný prostor}
Systém $\mathcal{A}$ podmnožin množiny $X$ se nazývá $\sigma$-algebra právě tehdy, má-li následující tři vlastnosti:
\begin{enumerate}
	\item $\emptyset\in\mathcal{A}$.
	\item $A\in\mathcal{A} \Longrightarrow A^c \in\mathcal{A}$, kdy definujeme $A^c := X\setminus A$.
	\item Definujme $A := \bigcup_j A_j$. Potom $A_j\in\mathcal{A}$ pro konečnou či spočetnou indexovou množinu $I$ implikuje $A\in\mathcal{A}$.
\end{enumerate}

Je-li $\mathcal{A}$ $\sigma$-algebra na $X$, pak tvrdíme, že dvojice $(X,\mathcal{A})$ je měřitelný prostor. Můžeme také říkat, že $X$ je měřitelný prostor se $\sigma$-algebrou $\mathcal{A}$. Libovolnému prvku z $\mathcal{A}$ se říká \textit{měřitelná množina}.

\section*{Borelovské množiny}
Nechť $X$ je množina, na které existuje libovolný počet (konečný, spočetný či nespočetný) $\sigma$-algeber, nechť $S\in X$. Potom $\sigma(S)$ nazveme $\sigma$-algebrou generovanou systémem $S$, přičemž $\sigma(S)$ je množina definovaná jako průnik všech $\sigma$-algeber na $X$, které obsahují množinu $S$. Není těžké nahlédnout, že $\sigma(S)$ je $\sigma$-algebra na $X$. Jedná se tedy o nejmenší $\sigma$-algebru, která obsahuje množinu $S$.
\\

Nechť na $X$ existuje topologie i $\sigma$-algebra. $X$ je tedy topologický a měřitelný prostor. Nechť $\tau$ je topologie na $X$, poté definujeme $\sigma$-algebru generovanou topologií jako $\sigma(\tau)$ a označíme ji $\sigma(\tau) = \mathcal{B}(X)$. $\sigma$-algebru generovanou topologií na $X$ nazveme systémem Borelovských množin na $X$.






\end{document}