TIP: Přetáhni ikonu na hlavní panel pro připnutí webu
Dnes se podíváme zpátky do minulosti na to, jak je to ve skutečnosti s matematickým poznáním.
Obraťme tedy naši pozornost ke královně věd, matematice. Mnoho lidí ji studuje proto, že v ní nalézá obrovskou vnitřní logiku. Mnoho lidí se také domnívá, že právě matematika je klíčem k absolutnímu poznání věcí (ostatně s tím začal už Pythagoras ze Samu). Je to pravděpodobně způsobeno tím, že matematika se vyznačuje nejvyšší mírou abstrakce a přesnosti. Matematické poznatky jsou dosahovány výhradně využitím logiky. Matematický důkaz je nejspolehlivější známý způsob, jak ověřovat pravdivost tvrzení. V matematice jsou za pravdivé považovány pouze ty věty, ke kterým je znám matematický důkaz.
Matematiku (a potažmo pak celou moderní vědu), postavil na hlavu Kurt Gödel, rakouský matematik, logik a filosof. Gödelovy věty o neúplnosti znamenaly radikální změnu představ o možnostech matematiky. Jak jsem již zdůraznil výše, po dlouhou dobu byla matematika považována, díky své přesnosti, za dokonalý vzor pro veškerou vědu. Avšak bouřlivý a chaotický rozvoj matematiky v 19. století způsobil, že se v jejích logických základech objevily trhliny. Vznikla proto celá nová disciplína, matematická logika, která měla veškerou nepřesnost a nejistotu odstranit. Matematikové pevně věřili, že lze vytvořit absolutně nerozporný a úplný způsob dokazování, který zaručí dokonalou jistotu všech matematických výroků. Pokoušela se o to řada vynikajících odborníků, mezi nimi Alfred North Whitehead nebo Bertrand Russel. „Musíme to vědět. Máme povinnost to vědět!“, prohlásil na přelomu století význačný matematik David Hilbert. Toužil prokázat budoucnost matematiky, chtěl svět přesvědčit, že v tak logické vědě, jakou matematika je, neexistují žádné bariéry, za něž nikdo nedohlédne.
Jenže v roce 1931 přišel jako blesk z čistého nebe Gödelův článek „Über formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systéme“ (do češtiny se nejčastěji překládá prostě jako „O formálně nerozhodnutelných výrocích“). Pětadvacetiletý Gödel jasně ukázal, že tato snaha je marná. Metodou matematické logiky odvodil a dokázal dvě zásadní věty. A matematika už nebyla nikdy stejná jako dříve.
Pro zajímavost zde uvedu důsledky v jazyce matematiky: Z první Gödelovy věty vyplývá, že systém axiomů libovolné rekurzivně axiomatizovatelné matematické teorie, v níž se dá vybudovat aritmetika přirozených čísel (jako je například teorie množin), je buď sporný, nebo neúplný. Pokud bereme daný systém jako bezesporný, pak je určitě neúplný, tedy existuje alespoň jedno tvrzení, které nelze logickou dedukcí odvodit ze základních axiomů. Z druhé věty plyne, že postulát bezespornosti axiomů teorie množin nelze dokázat v rámci teorie množin, tj. musel by být dokázán v rámci teorie jiné.
Pokud se pokusíme vyjádřit důsledky Gödelových vět v jednodušších kategoriích (matematika je sice univerzálním jazykem, ale občas neuškodí odhlédnout od jejích formálních konstruktů a vyjádřit její poselství v pojmech bližších „běžnému člověku“): V jakémkoli dostatečně bohatém matematickém systému (jako je např. aritmetika, kterou každý z nás dennodenně používá) se dají odvodit výroky, jejichž pravdivost nelze pomocí prostředků tohoto systému ani dokázat, ani vyvrátit. Takový systém není schopen zjistit a dokázat svou vlastní vnitřní nerozpornost. Matematické systémy jsou tedy určitým způsobem neúplné, protože nemohou prověřit svou vlastní pravdivost. Ergo, existence nejistoty je neodstranitelnou součástí matematiky.
Gödelovy věty vyvolaly bouřlivou diskusi vědců, která pokračuje dodnes. Hlavním předmětem sporů je otázka, zda tyto věty platí i pro jiné oblasti, než je matematika – např. pro lidské myšlení, umělou inteligenci a fyzikální teorii vesmíru. Filosofie se pak na Gödelovy věty o neúplnosti odvolává jako na důkaz o nepoznatelnosti světa. Na první pohled by se mohlo zdát, že mezi Gödelovými matematickými teoriemi a zkoumáním skutečného světa není tak velká spojitost. Omyl. Experimentální věda se sice týká reality, ale teorie pracují s idejemi. Většina idejí (a zákonitě i většina teorií) je možná jen díky matematickým důkazům. Takže matematické meze poznání mohou velmi snadno zasáhnout i vědecké teorie. Jednoduše, není možné je dokázat.
Podle mého názoru Gödelova revoluční teorie neohlašuje konec matematiky, jak by se mohlo zdát, jen zdůrazňuje, že matematika je nesmírně složitá a komplexní. Nejen matematika, ale každá věda. Hranice poznání na tom nic nezmění. Naopak. Definují hranice, mezi nimiž je potřeba bádat. A pomáhají nám pochopit věci v nich uzavřené.
Astronom John Barrow považuje meze poznání dokonce za jev veskrze pozitivní: „Jak budeme postupovat hlouběji do složitých sítí logických struktur, které řídí skutečnost kolem nás, nalezneme stále větší počet hranic poznání. Nakonec možná zjistíme, že komplex těchto limit dokáže náš vesmír charakterizovat lépe než všechno, co jsme zatím uměli poznat a vysvětlit.“ Největší limitou vědy se třeba nakonec stane nemožnost definovat vlastní limity. Ostatně, kdyby věda byla všemocná, určitě by jednou stvořila teorii, kterou už by praktická věda aplikovat neuměla. A to by vlastně také byla limita. Ať tedy žijí a prosperují teorie o teoriích. Jsou bláznivé, ale nic je nelimituje. Hranice lidského poznání o lidském poznání jsou ještě velmi, velmi vzdálené.
Všechny výše uvedené trhlinky v bílé a jinak neporušené zdi vědy jsou důvody, které pomohly narušit naivně optimistický „vědecký světonázor“ mělkého osvícenství, jenž se nám až donedávna vnucoval například i skrze marxismus. Představa světa jako dokonale poznatelného, dokonale předvídatelného, dokonale ovladatelného a dokonale vylepšitelného hodinového stroje jimi vzala za své. Právě tyto exaktní výsledky – i když zdánlivě pesimistické – nám umožnily i v rámci vědeckého obrazu světa zase získat více místa pro tajemství, nejistotu a svobodu, tedy pro věci, které v hodinovém stroji neexistují, protože tam pro ně mezi dokonale vysoustruženými a přesně navazujícími kolečky není místo. Samozřejmě, všechny tyto limity jsou spíše teoretické povahy a ani nám nebrání v našem každodenním plánování a poznávání, a na druhou stranu ani nevedou k důkazům náboženských dogmat nebo k lepší morálce lidstva. Je však přesto dobré, když o nich víme. Lépe tak přinejmenším unikneme pokušení intelektuální pýchy.
Dovolte mi zakončit tento článek citátem mého oblíbeného kvantového fyzika, Richarda P. Feynmana, který podle mého názoru situaci dnešních vědců vcelku pěkně vystihuje. Jde o úryvek z jeho projevu, který přednesl při příležitosti převzetí Nobelovy ceny.
I have approximate answers and possible beliefs and different degrees of certainty about different things, but I'm not absolutely sure of anything, and many things I don't know anything about, such as whether it means anything to ask why we're here, and what the question might mean. I might think about it a little bit, but if I can't figure it out, then I go on to something else. But I don't have to know an answer. I don't have to… I don't feel frightened by not knowing things, by being lost in the mysterious universe without having any purpose, which is the way it really is, as far as I can tell, possibly. It doesn't frighten me.
Richard P. Feynman, 1965
