Urokovy Uloha – Matematika – Fórum – Programujte.com

Ahoj nevíte někdo tyto 2 ulohy ? 

A)Rodina se rozhodla šetřit na dům. Každý rok uložila do banky 200 000Kč na 2,5% složený úrok. Po deseti letech spoření viděli reklamu na dům za 2 miliony Kč. Dům se jim líbil a rozhodli se, že budou stavět. Ovšem pozemek o který měli zájem stál 600 000Kč. Měli už dost naspořeno?

B)Podnikatel si půjčil v bance 4 miliony na 6% složený úrok. Zavázal se půjčku splatit ve dvou stejných splátkách. 1. po čtyřech letech a druhou po šesti letech. Jak velké byly jednotlivé splátky? Nebyly dvě stejně velké splátky po třech a šesti letech výhodnější?

#1 Andy
Základný vzorček na výpočet zloženého úroku je: Kc = Kz*(1+i)^n

Ty ale potrebuješ ešte ku každému cyklu prirátavať základnú sumu, na túto situáciu bohužiaľ nepoznám vzorec, ale dá sa to vyriešiť pomocou jednoduchých cyklov, pre príklad asi takto:

Kc1 = Kz*(1+i)

Kc2 = Kc1*(1+i) + Kz

Kc3 = Kc2*(1+i) +Kz

.....

Kc = Kc9*(1+i) + Kz

PS: za i musíš dosadiť 0,025.

a)

Kc = ?

Kz = 200 000Kč

i = 2,5%

Kc =  2 246 920,668420600910186767578125(cca)

Odpoveď je nie, pretože potrebujú 2,6mil..

Ohľadom toho b), nie som si istý, pretože účtovníctvom sa nezaoberám, tak to radšej ani nebudem skúšať.. ;-)

já si myslím, že je to trochu jinak

A)Rodina se rozhodla šetřit na dům. Každý rok uložila do banky 200 000Kč na 2,5% složený úrok. 
Po deseti letech spoření viděli reklamu na dům za 2 miliony Kč. Dům se jim líbil a rozhodli se, že budou stavět. 
Ovšem pozemek o který měli zájem stál 600 000Kč. Měli už dost naspořeno?
=======================================================================

Vycházím z toho, že:

- spořili 10 let a každý rok vložili onu částku, tj. 10x vložili 200.000,-

- 1. vklad se tedy zúročil 10x (po dobu 10 let se každý rok složeně úročilo)

- 2. vklad se tedy zúročil 9x (po dobu 9 let se každý rok složeně úročilo) 

.
.
.

- 9. vklad se tedy zúročil 2x (po dobu 2 let se každý rok složeně úročilo) 

- 10. vklad se tedy zúročil 1x (jen jednou se uročilo)


takže, výsledná naspořená částka je součtem zúročení jakoby jednotlivých spoření, které trvaly různě dlouho

- 1. vklad měl tedy po 10 letech hodnotu: 200000 * 1,025 ^ 10 =  256016,9088
- 2. vklad měl tedy po  9 letech hodnotu: 200000 * 1,025 ^ 9  =  249772,594

.
.
.

- 9. vklad měl tedy po  2 letech hodnotu: 200000 * 1,025 ^ 2  =  210125
-10. vklad měl tedy po  1 roku   hodnotu: 200000 * 1,025 ^ 1  =  205000


suma (1. až 10. vklad na konci spoření) = 2296693,-

Odpověď: Ne, nestačí to na dům s pozemkem.

========================================================================

Lze to spočítat i vzorcem pro součet členů geometrické posloupnosti s tím, že:

první člen a1 je částka 200.000,- po prvním roce úročení (odpovídá to 10. vkladu) tj. a1 = 200000 * 1,025 = 205000
koeficient q je 1,025 (úrok 2,5%)
10. člen geometrické posloupnosti bude odpovídat 1. vkladu, který se 10x zúročil     a10 = 200000 * 1,025^10


sn  = a1 * (1-q^n)/(1-q)
s10 = 205000 * (1 - 1,025^10)/(1-1,025)
s10 = 2296693









B)Podnikatel si půjčil v bance 4 miliony na 6% složený úrok. 
Zavázal se půjčku splatit ve dvou stejných splátkách. 1. po čtyřech letech a druhou po šesti letech. 
Jak velké byly jednotlivé splátky? Nebyly dvě stejně velké splátky po třech a šesti letech výhodnější?

výše pujčky      = 4000000
dluh po 4 letech = 4000000 * 1,06^4

výše dluhu po 4 letech s odečtenou 1. splátkou (splatka je znacena jako x) =  4000000 * 1,06^4 - x
výše dluhu po 6 letech s odečtenou 1. splátkou ve 4. roku                  = (4000000 * 1,06^4 - x) * 1,06^2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

vzhledem k tomu že splátky po 4. a 6. roce mají být stejně velké, tak platí že:

výše dluhu po 6 letech s odečtenou 1. splátkou ve 4. roku se musi rovnat x 

(4000000 * 1,06^4 - x) * 1,06^2 = x
x = 4000000 * 1,06^6 / (1 + 1,06^2)
x = 2671914

Výše splátek tedy je 2.671.914,-




pokud by se splácelo po 3. a 6. roce, tak by to vypadalo následovně:
(4000000 * 1,06^3 - x) * 1,06^3 = x
x = 4000000 * 1,06^6 / (1 + 1,06^3)
x = 2589701

Splátky by tedy v případě spláceni po 3. a 6. roce byly nižší. 

#3 Kapitán Bobr
K tomu a), treba si uvedomiť, že sa jedná o zložené úrokovanie a úroky sa pripisujú priebežne a z toho sa následne ďalej úrokuje..

Doslovne:

"Zložené úrokovanie vychádza z toho, že vyplatené úroky sa pripočítavajú k pôvodnému kapitálu a v nasledujúcom úrokovacom období (1 rok) sa spolu s ním úročia."

nebo: http://www.algoritmy.net/article/125/Urokovani(druhý řádek hned začátek)

Ty počítaš iba s hodnotou 200 000 čož nie je v tomto prípade správne..

hele, já jsem už v 5. třídě měl z matematiky jedničku, takže móc dobře vím, co je to složené úrokování.

V postupu, jež jsem uvedl před tím, jsem použil složené úrokování. A řekl bych, že je to správně.

Nicméně ještě přikládám jedno přehlednější řešení (najde se chybka?):

začátek	1. roku                          200000   1. vklad 200.000,-
konec	1. roku      200000 + 2,5%   =   205000   připsání úroků 2,5%
začátek	2. roku      205000 + 200000 =   405000   2. vklad 200.000,-
konec	2. roku      405000 + 2,5%   =   415125   připsání úroků 2,5%
začátek	3. roku      415125 + 200000 =   615125   3. vklad 200.000,-
konec	3. roku      615125 + 2,5%   =   630503   připsání úroků 2,5%
začátek	4. roku      630503 + 200000 =   830503   4. vklad 200.000,-
konec	4. roku      830503 + 2,5%   =   851266   připsání úroků 2,5%
začátek	5. roku      851266 + 200000 =  1051266   5. vklad 200.000,-
konec	5. roku     1051266 + 2,5%   =  1077547   připsání úroků 2,5%
začátek	6. roku     1077547 + 200000 =  1277547   6. vklad 200.000,-
konec	6. roku     1277547 + 2,5%   =  1309486   připsání úroků 2,5%
začátek	7. roku     1309486 + 200000 =  1509486   7. vklad 200.000,-
konec	7. roku     1509486 + 2,5%   =  1547223   připsání úroků 2,5%
začátek	8. roku     1547223 + 200000 =  1747223   8. vklad 200.000,-
konec	8. roku     1747223 + 2,5%   =  1790904   připsání úroků 2,5%
začátek	9. roku     1790904 + 200000 =  1990904   9. vklad 200.000,-
konec	9. roku     1990904 + 2,5%   =  2040676   připsání úroků 2,5%
začátek	10.roku	    2040676 + 200000 =  2240676   10. vklad 200.000,-
konec	10.roku	    2240676 + 2,5%   =  2296693   připsání úroků 2,5%

#5 Kapitán Bobr
Tak keď už ideme cez to prepočítavanie, tak by to malo ísť následovne..podľa všetkého to koexistuje s výsledkom, ktorý som uviedol v mojej prvej reakcii...  :-)

zaciatok	1. rok -> Suma = 200 000 (1% = 2 000.....2,5% = 5 000)
koniec		1. rok -> Suma = 200 000 + 2,5%(5 000) => 205 000

zaciatok	2. rok -> Suma = 205 000 (1% = 2 050.....2,5% = 5 125)
koniec		2. rok -> Suma = 205 000 + 2,5%(5 125) + 200 000 => 410 125 

zaciatok	3. rok -> Suma = 410 125 (1% = 4 101,25.....2,5% = 10 253,125)
koniec		3. rok -> Suma = 410 125 + 2,5%(10 253,125) + 200 000 => 620 378,125

zaciatok	4. rok -> Suma = 620 378,125 (1% = 6 203,78125.....2,5% = 15 509,45313)
koniec		4. rok -> Suma = 620 378,125 + 2,5%(15 509,45313) + 200 000 => 835 887,57813

zaciatok	5. rok -> Suma = 835 887,57813 (1% = 8358,8757813.....2,5% = 20 897,18945325)
koniec		5. rok -> Suma = 835 887,57813 + 2,5%(20 897,18945325) + 200 000 => 1 056 784,76758325

zaciatok	6. rok -> Suma = 1 056 784,76758325 (1% = 10 567,8476758325.....2,5% = 26 419,61918958125)
koniec		6. rok -> Suma = 1 056 784,76758325 + 2,5%(26 419,61918958125) + 200 000 => 1 283 204,38677283125

zaciatok	7. rok -> Suma = 1 283 204,38677283125 (1% = 12 832,0438677283125.....2,5% = 32 080,10966932078125)
koniec		7. rok -> Suma = 1 283 204,38677283125 + 2,5%(32 080,10966932078125) + 200 000 => 1 515 284,49644215203125

zaciatok	8. rok -> Suma = 1 515 284,49644215203125 (1% = 15 152,8449644215203125.....2,5% = 37 882,11241105380078125)
koniec		8. rok -> Suma = 1 515 284,49644215203125 + 2,5%(37 882,11241105380078125) + 200 000 => 1 753 166,60885320583203125

zaciatok	9. rok -> Suma = 1 753 166,60885320583203125 (1% = 17 531,6660885320583203125.....2,5% = 43 829,16522133014580078125)
koniec		9. rok -> Suma = 1 753 166,60885320583203125 + 2,5%(43 829,16522133014580078125) + 200 000 => 1 996 995,77407453597783203125

zaciatok	10. rok -> Suma = 1 996 995,77407453597783203125 (1% = 19 969,9577407453597783203125.....2,5% = 49 924,89435186339944580078125)
koniec		10. rok -> Suma = 1 996 995,77407453597783203125 + 2,5%(49 924,89435186339944580078125) + 200 000 => 2 246 920,66842639937727783203125

čau,

no víš v čem je problém? jen se na to podívej na ten tvůj rozpis:

prvních 200.000,- jsi vložil na začátku 1. roku (např 1.1.2010)

a druhých 200.000,- jsi vložil až na konci 2. roku (např 31.12.2011) - to je v podstatě 2 roky po vložení prvního vkladu. proč?

To je dle mého špatně. Vklady se dávají vždy 1 rok po sobě. (1.1.2010, 1.1.2011, 1.1.2012 ....)

Ty máš mezi 1. a 2. vkladem 2 roky pauzu. Mezi každými dalšími vklady máš mezeru 1 rok. (1.1.2010, 31.12.2011, 31.12.2012 ....)

Proto ti ta částka vyšla nižší než je ta moje, protože u 9 vkladů ti chybí "úroky za jeden rok" protože 2. až 10. vklad jsi vložil s ročním zpožděním. 

#7 Kapitán Bobr
Áno, už vidím tu chybu..ja som to chybne vyhodnotil...

V tom prípade by sa správneho výsledku dosiahlo jednoduchou úpravou toho môjho vyššie uvedeného vzorčeka..

Kc1 = Kz*(1+i)

Kc2 = (Kc1+Kz)*(1+i)

Kc3 = (Kc2+Kz)*(1+i)

.....

Kc = (Kc9+Kz)*(1+i)

Kc = 2 296 693,262410134143829345703125

Tento výsledok zase korešponduje s tvojimi vyššie uvedenými výpočtami..

PS: Ďakujem za opravenie.. :-)