Slovní úloha o společné práci – Matematika – Fórum – Programujte.com

Dobrý den,

potřeboval bych pomoci s jednou slovní úlohou:

Dva dělníci udělají společně určitou práci za 15 dnů. Vykoná-li nejdříve rychlejší dělník čtvrtinu celé práce a ihned po něm práci dokončí pomalejší dělník, bude to trvat 36 dnů. Za jak dlouho by práci udělal každý dělník sám?

Děkuji za pomoc.

z tech 15ti das dohromady jednu rovnici, z tech 36 druhou...

chce to jen znat vzorec pro paralelni praci... (nebo spis razeni odporu :))

#2 KIIV
A nemohl bys mi to nějak sepsat?

#3 Honza

Dohromady to udělají za 15 dní.
Takže společný pracovní výkon je 1/15 práce denně.
To je dost malý číslo, a ještě se o něj musí rozdělit, a to v takovým poměru, aby vyšlo těch 36 dní.

Zkoušel jsem rozdělit 1/15 na:
2/45 a 1/45 ... Ne.
3/60 a 1/60 ... Ne.
5/120 a 3/120 ... Bingo!

Rychlejší to udělá sám za (120/5) 24 dní, pomalejší za (120/3) 40 dní.

1/RYCH + 1/POM = 1/15
RYCH * 0.25 + POM * 0.75 = 36
'----------------------------
RYCH = 24
POM = 40
'----------------------------
1/24 + 1/40 = 1/15
24 * 0.25 + 40 * 0.75 = 6 + 30 = 36

"Dva dělníci udělají společně určitou práci za 15 dnů."
Na vykonani prace, tedy potrebujes rychlost a cas. Z fyziky vis, ze se draha pocita jako s = v * t
s = v1 * ta + v2 * ta
ta = 15
s/15 = v1 + v2 ... [1]

"Vykoná-li nejdříve rychlejší dělník čtvrtinu celé práce a ihned po něm práci dokončí pomalejší dělník, bude to trvat 36 dnů."
1/4 * s = v1 * tb
3/4 * s = v2 * tc ... [2]
tb + tc = 36
1/4 * s = v1 * (36 - tc) ... [3]

"Za jak dlouho by práci udělal každý dělník sám?"
A dal bych musel premyslet, a to se mi nechce. Tusim, ze to bude takhle nejak...
do rovnice 2 dosadis 1
do rovnice 3 dosadis 1
a pak je spojist tak, aby neco vypadlo

1/4 * s = v1 * tb
3/4 * s = v2 * tc
tb + tc = 36
Jeste, bych to mozna udelal takto, vyjadrim si tb+ tc
1/4 * s / v1 = tb
3/4 * s / v2 = tc
1/4 * s / v1 + 3/4 * s / v2 = tb + tc = 36
1/4 * s / v1 + 3/4 * s / v2 = 36 [4]

Převedením na stupně, kde
K = úhlová rychlost pracovníka
s kratší dobou a D = úhlová
rychlost pracovníka s delší dobou...

K + D = 24°
90 / K + 270 / D = 36

...vyjde kvadratika s výslednou dvojicí
úhlových rychlostí buď pracovníka
s kratší, nebo delší dobou, podle toho
jestli dosadím za K, nebo za D.

					' třeba D = 24 - K
90 / K + 270 /(24 - K) = 36		' *K
  90 + 270K / (24 - K) = 36K 		' *(24 - K)
    2160 - 90K + 270 K = 864K - 36K^2	' součet
  36K^2 - 684 K + 2160 = 0		' /36
        K^2 - 19K + 60 = 0

K = [-b ± Sqr(b^2 - 4ac)] / 2a 		' a = 1, b =-19, c = 60
K = [19 ± Sqr(361 - 240)] / 2
K = (19 ± 11) / 2
K 1,2 = {15; 4}				' znovu D = 24 - K
D 1,2 = {9; 20}

Protože 15 > 9 a 4 < 20 beru první kořeny.
Pracovník s kratší dobou udělá
práci sám za (360 / 15) = 24 dní,
ten s delší dobou za (360 / 9) = 40 dní.
Test: Doba na práci = 24 * 0.25
+ 40 * 0.75 = 6 + 30 = 36 dní.

Zbylá varinta...
Kratší doba = (360 / 4) = 90 dní.
Delší doba = (360 / 20) = 18 dní.
90 * 0.25 + 18 * 0.75 = 22.5 + 13.5 = 36 dní.
...vychází na dny, ale kratší dobu
by pracoval pomalejší z nich.

Tak uznejte sami, že bylo elegantnější to prostě uhodnout :)