Aproximace sinu/kosinu polygonem – Pascal – Fórum – Programujte.com

Zdravim, mel bych takovy dotaz, doufam, ze jiz neni v nejakem vlaknu zodpovezen. Jsem tak trochu v koncich, je to zakladni ukol na programko a ja to nejak nedavam... Potrebuji aproximovat radu (v priloze), ve ktere se vyskytuji goniometricke funkce, ale nesmim vyuzit funkci sinus/kosinus ci vnorene cykly. Jen scitani, nasobeni, deleni, souctove vzorce. Rady se kresli pro ruzna n (napr. 3, 10, 42). Puvodne jsem zkousel zohybat paraboly a napojit je na sebe, to vedlo k mnoha promarnenym hodinam (: Pak jsem klasicky sahl po aproximaci Taylorem, ktery se take ukazal jako neefektivni, protoze pro velka n bohuzel utika, musel by byt moc vysokych radu. Rada je pouzit de facto souctove vzorce (sin(a+b)=...) pac argumenty rostou aritmetickou radou. Umim udelat "polygonalni kruznici" (viz. nize), ale tim bohuzel koncim. Pokud ji uzitim IF klauzule rozdelim na ctvrtky, tak jde pospojovat do neceho jako sinus/kosinus, ale je to dosti neohrabane a hlavne to neni funkce, je to vypis tabelovanych hodnot. Kazdopadne nejak takhle by se na to asi melo jiti. Nemohl by me prosim nekdo trochu nasmerovat? Vim, ze to neni uplne programovaci task jako spise matematicky, ale ja jsem spatny matematik a jeste mnohem horsi programator, takze to zkousim tady. Diky moc za jakekoli podnetne rady!

program pol_kruz;

const N = 1000;
      uhel = 2*Pi/N;
var cos_u,sin_u : real;
    cosf, sinf  : real;
             i  : integer;
    new_cosf    : real;

begin
  cos_u := cos(uhel);
  sin_u := sin(uhel);

  cosf := 1;
  sinf := 0;

  for i:= 0 to N do begin

    writeln(cosf:9:3, ' ', sinf:9:3);

    new_cosf := cosf*cos_u-sinf*sin_u;
    sinf := cosf*sin_u+sinf*cos_u;
    cosf := new_cosf;
  end;

  readln;

end.

Připojen obrázek.

Připojen obrázek.

Nechápu ten problém s Taylorem. Stačí ti přece ta jedna vlna a to, že to potom utíká ničemu nevadí.

#3 q
Hodnoty maji byt mezi -4..4, Taylor udela pekne jen jednu vlnu tehle rady a to pro n=1 (myslim nejaky rozumny, 9 radu). Ta zelena rada na obrazku je pro n=33, tam je to myslim na uz uplne nerealne. Teoreticky mi to prislo ok, ale po prakticke strance to je neuspokojive reseni (muzu ho sem hodit), kazdopadne jak pisi, nejsem zadny programator, takze by se urcite dalo poladit. Jinak predpokladam, ze by mi reseni pomoci Taylora stejne vratil...

Připojen obrázek.

Připojen obrázek.

Myslel jsem to tak, že stačí Taylor jen takového stupně, abys pokryl jednu vlnu (případně i půlvlnu) od -π do +π s tím, že pak už se pořád opakuje.

Ale teď jsem to zkoušel a je to na prd.

souhlas a hlavne to neni cesta, kterou bych mel postupovat... trochu me to desi, protoze to je 2. nejlehci ukol co tam mame (pry) a ja kvuli tomu uz po druhe odlozil zkousku (:

Nevim, jestli ti to pomuze, ale ja potreboval nedavno celou funkci pro php pro rychly kosinus. Fakt je to celkem cool, ale musel jsem si to prizpusobit pro vetsi uhly. Jenze ty to nejspis mas spocitat.
Ten sinus, kosinus se prave pocita z toho, ze urcitem intervalu je ten polynom skoro stejny jako sin, kosinus.
Je to vlastne furrierova transformace za pouziti polynomu misto sinu a cosinu. To ti mozna nic nerika :) Ta spocita v tom, ze scitanim a odcitanim sinu a cosinu do nekonecna je mozne vytvorit jakoukoliv nevracejici se krivku v uzavrenem intervalu. Urcite znas pak vysledek, pouzivat to kazdy digitalni obrazek a film, jpeg, mpeg, mp3, ogg...

// http://lab.polygonal.de/?…
function fastCos($x)
{
$x += 4.71238898; // $x += M_PI + pp(M_PI/2);
while ($x > 3.14159265)
	{
    $x -= 6.28318531;
}

if ($x < 0)
{
    $x = 1.27323954 * $x + 0.405284735 * $x * $x;
    if ($x < 0)
        return .225 * ($x *-$x - $x) + $x;
    else
        return .225 * ($x * $x - $x) + $x;
}
else
{
    $x = 1.27323954 * $x - 0.405284735 * $x * $x;
    if ($x < 0)
        return .225 * ($x *-$x - $x) + $x;
    else
        return .225 * ($x * $x - $x) + $x;
}
}

function fastCos($x)
{
$x += 4.71238898; // $x += M_PI + pp(M_PI/2);
while ($x > 3.14159265)
	{
    $x -= 6.28318531;
}
$xx = ($x < 0) ? $x * $x : -$x * $x;
$x = 1.27323954 * $x + 0.405284735 * $xx;
$xx = ($x < 0) ? -$x * $x : $x * $x;
return .225 * ($xx - $x) + $x;
}

function fastCos($x)
{
$x += 4.71238898; // $x += M_PI + pp(M_PI/2);
while ($x > 3.14159265)
	{
    $x -= 6.28318531;
}
return ($x < 0) ? 1.27323954 * $x + 0.405284735 * $x * $x : 1.27323954 * $x - 0.405284735 * $x * $x;
}

Dekuji za prispevek, na tuto aproximaci jsem pred casem take narazil, Fourrierovu transformaci samozrejme znam. Mozna zkusim vyuzit, kdyz se nikomu nepodari poradit elegantnejsi zpusob reseni pomoci souctovych vzorcu. Jen se obavam, ze to bude mit stejne uskali jako me reseni s pomoci Taylorova polynomu.

Sinusovou půlvlnu na intervalu 0..pí/2 celkem slušně (s max. chybou cca 0.06) aproximuje parabola y=1-(4/pi^2)*(x-pi/2)^2. Periodická vlnovka se z ní udělá pomocí pár podmínek a otočených znamének (viz třeba funkci RychlySin v jednotce http://mircosoft.mzf.cz/…ad/NFSUP.PAS - ta je založená na tabulce, ale výchozí rozsah používá stejný).

Součtové vzorce asi ani nemá smysl zkoušet, vždycky jsem se dostal ke složitějším výrazům, než se kterými jsem začínal, a goniometrické funkce v nich byly pořád.

Jestli dobře chápu pana Taylora, tak ta jeho aproximace spolehlivě funguje jenom v okolí nějakého pevně daného bodu, kde si můžeme předpočítat hodnoty derivací a pak už jenom násobit, dělit a sčítat. Aproximovat s ním funkci na libovolném rozsahu ale nejde a derivováním se sinu a cosinu stejně nezbavíme, takže bych to tímhle směrem asi taky nezkoušel.

Hodně štěstí...

Dekuji za koment, jak jsem psal, parabola me napadla puvodne jako autorske reseni, jen se mi to nejak nepodarilo uvest do praxe (narazil jsem na sve "programatorske" limity :) Zkusim se inspirovat, jinak pekny material na Tvych strankach...