Třetí integrace postup + popis – Matematika – Fórum – Programujte.com

Dobrý den, byl bych moc vděčný někomu kdo by mi vypočítal tento příklad na třetí integraci a s výpočtem mi popsal jak k výsledku postupně došel, moc by mi to pomohlo, jedná se o příklad z jedné staré učebnice, velice děkuji.

∫∫∫ z dx dy dz, A-osmina koule, S=0
 A

z nebo r (bohužel nepřečtu) =1, x>0, y>0, z>0

No a asi najjednoduchsie voci A je to previest do sferickych suradnic. t (theta) je z <0, pi/2>, f (phi) je z <0, pi/2> a r je z <0,1> (asi to tam nemas napisane ale asi je to ono).

∫∫∫ z dx dy dz =  ∫∫∫ r cos (t) r^2 sin(t) dr df dt = ∫df (f in [0. pi/2]) ∫r^3 dr (r in [0, 1]) ∫ sin(2t)/2 dt ( t in [0, pi/2]) =
A                       A
pi/2 1/4 2/2 = pi/8. Dufam ze som sa niekde nepomylil ale toto je princip. To r^2 sin(t) je za jakobian (pri prechode z kartezskych do sferickych) a z = r cos(t)

#2 sleepy
dopracovali jsme se s kolegou k podobnému postupu, tedy:

řešení bude přes sférické souřadnice, neboť integrál obsahuje kouli, či část koule tzv. 
x="ró" cos "fí" * sin v 
y="ró" sin "fí" * cos v 
z=cos v 
J (jakobián) = -"ró"^2 * sin v 

tudíž pokud to chápeme dobře, pi/8 je výsledek ?

#2 sleepy
0<="ró"<=1 (jednička díky poloměru, posunuté souřadnice nemá, tak od nuly) 
0<="fí"<="pí"/2 
0<= v <= "pí"/2 (s tímhle si nejsem jistý, ale v je def. od 0 do max pí, ve 2D v kartézské z,y jde od 0 do pí/2 aby byla splněna podmínka, že vše je větší jak 0) 

#3 Vojtěch
no ano ale mas len osminu gule x>= 0, y>= 0 a z >= 0. vsak si to nakresli aj s osami a to uvidis.

#5 sleepy
Děkuji mockrát za pomoc.