TIP: Přetáhni ikonu na hlavní panel pro připnutí webu
V dnešním dílu budeme pokračovat v podprogramech. Ukážeme si na jednoduchých příkladech, jak dokážou řešení problému zjednodušit, a to minimálně tak, že nejsme nuceni řešit celou úlohu najednou, ale můžeme se od globálního náhledu postupně dostat až k těm nejmenším detailům. Případně se můžeme soustředit na řešení jednotlivých částí, které pak spojíme do větších a větších celků.
V dnešním pokračování vyřešíme 2 úlohy. Na obě použijeme metodu shora-dolů, která je, jak již bylo v minulém díle zmíněno, pro začátek jednodušší. Metoda zdola-nahoru vyžaduje větší představivost. Úlohy nebudou nijak obtížné, jde hlavně o princip a ukázku. Prvním příkladem budou prvočíselné dvojice, druhým pak výpočet exponenciály aproximací.
Prvočíselné dvojice
Prvočíselné dvojice jsou prvočísla, jejichž hodnota se liší právě o 2 (například 5 a 7). Jde o matematický pojem z teorie čísel. My si pro hledání takových dvojic vytvoříme algoritmus. Zadání by bylo následující: vytvořte algoritmus pro vyhledávání prvočíselných dvojic do zadaného čísla. Vstupem je tedy číslo, do kterého budeme dvojice hledat. Výstupem je vypsání prvočíselných dvojic.
Provedeme jednoduchý návrh shora-dolů, tj. v první fázi si vytvoříme kostru hlavního programu. A v druhé fázi vytvoříme vývojový diagram pro podprogram. Nejprve potřebujeme zadat číslo, do kterého budeme dvojice hledat. Následně musíme procházet jednotlivá čísla a zjišťovat, jestli aktuální číslo a číslo o 2 větší jsou prvočísla – otestujeme vždy dvojici čísel. Pokud budou, tak je vypíšeme, jinak nebudeme dělat nic.
Základ hlavního programu si můžete prohlédnout na obrázku. Je to jednoduchý cyklus, který má v těle 2 volání stejného podprogramu a podmínku vyhodnocující návratové hodnotě z těchto podprogramů.
Nyní se vrhneme na podprogram. Na jeho vstupu (parametr) bude číslo, které chceme prověřit. Opět nebudeme dělat žádné složitosti a pro test, je-li číslo prvočíslem, zvolíme znovu stejný (neoptimální) způsob jako v 8. díle v úloze na prvočísla, ve kterém jsme počítali počet dělitelů v rozmezí od 2 do N-1. Návratovou hodnotou tedy bude 0, pokud se bude jednat o prvočíslo, nebo jiné kladné číslo v opačném případě.
Na příkladu je opět vidět, jak podprogramy napomáhají zjednodušit nalezení řešení, které je i snáze čitelné. Samozřejmě by šlo úlohu optimalizovat, například by se nemuselo provádět testování druhého čísla, pokud by to první nebylo prvočíslo atd. O optimalizaci testu prvočísla jsem se již zmiňoval, ale pro naše příklady stačí tato neoptimální řešení, která jsou názornější.
Obě části algoritmu si můžete prohlédnout na obrázcích. A můžeme přistoupit k druhému příkladu – výpočet exponenciály.
ex
Zadání úlohy je následující: vytvořte algoritmus pro výpočet ex aproximací. Na vstupu od uživatele dostaneme zadané x a výstupem bude vypočítaná hodnota ex s danou přesností (pro daný počet kroků).
Pro výpočet použijeme Taylorův rozvoj, který je definován jako suma od 0 do nekonečna:
Pro náš ukázkový příklad použijeme vzorec pro výpočet přibližné hodnoty funkce ex v blízkosti bodu x=0, který omezuje výpočet na prvních n derivací, tj. na prvních n kroků rozvoje
Nyní máme kompletní předpis pro výpočet, takže nebudeme na nic čekat a pustíme se do práce.
Hlavní program necháme opět velmi jednoduchý, tj. zadání vstupu od uživatele, zavolání podprogramu a vypsání výsledku, který nám podprogram vrátí. Podobný jsme dělali už vícekráte. Můžete si ho prohlédnout na obrázku. Jedinou změnou je volání podprogramu s parametrem - konstantou (50), kterou říkáme, že chceme počítat prvních 50 kroků rozvoje. Čím více kroků bychom zvolili, tak tím přesnější výsledek bychom dosáhli.
Stejně dobře by mohl počet kroků zadávat uživatel jako druhý parametr. Konstanta byla v příkladu zvolena hlavně z toho důvodu, aby bylo zřejmé, že hodnoty předávané do podprogramu nemusí být vždy je nějaké proměnné, ale mohou to být konstanty. Předávání konstanty musí mít nějaký důvod, v tomto příkladu se volí jí volí počet kroků. Pokud by měla být hodnota za všech okolností vždy stejná pro všechna volání, tak je zbytečné ji předávat, ale může být použita přímo v podprogramu.
Podprogram bude mít na vstupu dva parametry - hodnotu X a počet kroků (N), ve který se má rozvoj počítat. Návratová hodnota bude vypočtená hodnota. Začněme tedy přepisovat vzorec do podoby vývojového diagramu.
Ve vzorci vidíme výpočet mocniny a faktoriálu. Tyto 2 výpočty opět provedeme pomocí podprogramů, takže tělo nám bude tvořit cyklus s daným počtem opakování (pro daný počet kroků výpočtu N), ve kterém budeme volat výpočet mocniny a faktoriálu. Návratové hodnoty zpracujeme - podělíme je a výsledek dělení přičteme k celkovému výsledku. Po ukončení cyklu vrací podprogram vypočtenou hodnotu.
Pokračujeme v dekompozici dále. Máme tu volání 2 podprogramů, které musíme vyřešit. Využijeme toho, že jsme v předchozím díle výpočet mocniny pomocí podprogramu již dělali. Použili bychom stejnou, takže ji pouze zavoláme (znovupoužitelnost v praxi). Výpočet faktoriálu jako podprogram ještě nemáme, tak se do něj pustíme.
Jako podprogram jsme ho sice nedělali, ale již jsme ho tvořili, a proto nebudeme dlouho otálet. Faktoriál N! je definován jako N! = 1x2x3x ... xN. Řešení provede stejně jako v 8. dílu, tj. pomocí cyklu s daným počtem opakování. V jeho těle provedeme vynásobení všech členů počítaného faktoriálu. Výsledek opět vracíme jako návratovou hodnotu.
Jak bylo vidět zejména na tomto druhém příkladu, tak dekomponovat lze po relativně malých krocích, ve kterých z celkového koláče ukrajujeme postupně. Následné řešení je snadno kontrolovatelné a případně upravitelné. Opět jsme nehledali a ani nenašli optimální řešení, například výpočet Taylorova rozvoje lze velmi zjednodušit - další mocnina a faktoriál v pořadí je pouze o jednom násobení předchozího výsledku apod. Důležitější bylo ukázat o něco málo složitější příklady, které snadno dekomponujeme.
Tím dnešní díl zakončíme a příště se vrhneme na rekurzi.
