Matematické funkce - úplné základy
 x   TIP: Přetáhni ikonu na hlavní panel pro připnutí webu
Reklama

Matematické funkce - úplné základyMatematické funkce - úplné základy

 

Matematické funkce - úplné základy

Google       Google       3. 10. 2011       18 719×

Tento článek jsem se rozhodl vytvořit, abych byl schopen všem vysvětlit, jak matematika ve fyzice funguje. K fyzice matematika jednoznačně patří, a proto chci, aby ji čtenář při sledování mého kurzu uměl. Průběžně budu přidávat i další články o matematice, která bude zrovna potřeba. Abych tu jen neplácal definice, pokusím se v článcích o funkcích také ukázat, k čemu je používáme při programování (to však až v příštích dílech).

Reklama
Reklama

První na tahu jsou tedy matematické funkce!

Dle mnoha lidí jsou funkce jednou z nejkrásnějších částí matematiky. Asi největší krásu, kterou v nich můžeme objevit, nalézáme v matematické analýze, kde rozvíjíme své znalosti, dle různých názorů, do dokonalosti.

Nejdříve bychom si ale měli říct, co to ty funkce vůbec jsou… Funkce není těžké pochopit, pokud člověk dokáže pochopit pojem „dvojice“ či „trojice“ apod. Než se ale dostaneme k tomu, co to takové funkce jsou, zkusíme se k vysvětlení logicky dopracovat – nemá totiž smysl vyřknout definici, kterou stejně nikdo nepochopí.

Dvojice a uspořádané dvojice

V matematice existuje pojem k-tice [kátice]. Mezi k-tice patří dvojice, trojice, čtveřice apod. My se zaměříme na ty nejjednodušší – dvojice. Dvojice si můžeme představit jako množiny, které obsahují dva prvky, kupříkladu množina A, která obsahuje prvky 1 a 2:

A = {1,2}

Tato dvojice je pouze jednou z mnoha milionů (nekonečna) dvojic, které existují. Pro naše vysvětlení bude stačit druhá množina B:

B = {2,1}

Pokud se bavíme o dvojicích, tyto jsou stejné - řekneme tedy, že dvojice A je rovna dvojici B, protože obsahuje stejné prvky a nezáleží na jejich pořadí. Pokud však chceme uspořádané dvojice, již si tyto dvojice nebudou rovny. Množina A obsahuje stejné prvky jako množina B, ale nejsou stejně uspořádané.

Matematická funkce - definice přes dvojice

Nyní se podívejme na pojem funkce. Říkáme, že funkce je množina všech uspořádaných dvojic na svém definičním oboru. Vezměme si funkci f a řekněme, že jejím definičním oborem budou přirozená čísla větší než 1. Tedy dvojice budou mít takový tvar:

{1,y_1},{2,y_2},{3,y_3}

Můžeme si všimnout, že se vlastně jedná o souřadnice bodů (x a y). Souřadnici x známe a snažíme se zjistit hodnotu y. Můžeme tedy funkci zakreslit do grafu závislosti y na x. Můžeme tedy říci, že se jedná o množinu bodů v rovině.

Takto hovoříme o funkci jedné reálné proměnné, jelikož její funkční předpis je platný pouze pro x. Tímto funkčním předpisem jsme schopni nahradit právě y.

Matematická funkce - typická středoškolská definice

Obyčejně se v matematice na středních školách a gymnáziích používá definice:

Funkce je určitý matematický předpis, který jednomu x přiřazuje právě jedno y.

Všimněme si, že je to vlastně zjednodušení definice, kterou jsme si řekli u dvojic. Všechno však můžeme vztáhnout pouze na funkci jedné reálné proměnné, můžeme si ale představit i funkce více reálných proměnných – kupříkladu dvou reálných proměnných. Tyto funkce budou obsahovat x a z, bude se jednat o uspořádané trojice a bude se jednat o množinu bodů v prostoru.

Definicí pak můžeme říci, že funkce dvou reálných proměnných je předpis, který jedné uspořádané dvojici {x,z} přiřazuje právě jedno y.

Funkce jedné reálné proměnné

A jak taková funkce vypadá? Začněme funkčním předpisem. Funkčnímu předpisu (předpisu funkce) jsme v matematice přiřadili označení. V označení je vždy jméno funkce a proměnné, které v předpisu vystupují.

Pro funkci f s proměnnou x bude předpis vypadat takto: f(x).
Pro funkci g s proměnnou n bude předpis vypadat takto: g(n).

Máme-li takový funkční předpis, jsme už schopni najít množinu bodů, která mu bude odpovídat. Funkčním předpisem může být libovolný výraz, například:

y = x/(sin x) + x*x

Funkce jedné reálné proměnné tedy budeme zadávat funkčním předpisem, který obsahuje x. Nemusí tomu tak být vždy, kupříkladu ve fyzice, díky které vznikl tento článek, budeme používat často funkci času, čili f(t). Pokud se bude jednat o funkci rychlosti v závislosti na čase, pak budeme funkce značit jako v(t). Stejně tak to bude i u dalších veličin, pamatujme si tedy, že písmenka jsou opravdu jen názvy a ne vždy je proměnnou x a názvem funkce f.

Každá funkce jedné reálné proměnné (dále jen funkce) má i svůj graf. Řekli jsme si, že funkce je množina bodů v rovině (souřadnice x, y), proto graf bude dvojrozměrný a bude jím buď přímka, křivka nebo jiná množina bodů, může být i nespojitá, to vše si řekneme později.

Funkci tedy můžeme zadat jak předpisem, tak grafem. Dále můžeme funkci zadat výčtem bodů, ten však nemusí být vždy přesný, jelikož dvě funkce mohou mít více stejných bodů. Abychom určili přesně danou funkci pomocí výčtu bodů, museli bychom mít všechny body, které se v ní nacházejí. Možností, jak při výčtu bodů přesně určit danou funkci, je říci, o jakou funkci se jedná (opět si vysvětlíme, jaké druhy funkcí jsou, poté určitě pochopíte, jak získat předpis pomocí dvou bodů pro přímku apod.).

Na následujícím obrázku můžeme vidět graf jedné z funkcí. Grafem je přímka, svislá je osa y, vodorovná je osa x.

Graf 1.

Zatím jsme si řekli hodně věcí, které nejsme schopni si nijak představit, v příštích dvou článcích už si však ukážeme, jaké druhy funkcí existují a jaké jsou jejich vlastnosti. Ukážeme si také, že funkce používáme podvědomě více, než sami víme - typické ukládání hodnot do proměnné je takovou funkcí! Ale o tom až příště.

×Odeslání článku na tvůj Kindle

Zadej svůj Kindle e-mail a my ti pošleme článek na tvůj Kindle.
Musíš mít povolený příjem obsahu do svého Kindle z naší e-mailové adresy kindle@programujte.com.

E-mailová adresa (např. novak@kindle.com):

TIP: Pokud chceš dostávat naše články každé ráno do svého Kindle, koukni do sekce Články do Kindle.

2 názory  —  2 nové  
Hlasování bylo ukončeno    
23 hlasů
Google
(fotka) Jimmy FoundJimmy studuje teoretickou fyziku a zajímá se o programování webových stránek, kosmologii a kvantovou fyziku.
Facebook    

Nové články

Obrázek ke článku Malware KONNI se úspěšně skrýval 3 roky. Odhalil ho bezpečnostní tým Cisco Talos

Malware KONNI se úspěšně skrýval 3 roky. Odhalil ho bezpečnostní tým Cisco Talos

Bezpečnostní tým Cisco Talos odhalil celkem 4 kampaně dosud neobjeveného malwaru, který dostal jméno KONNI. Ten se dokázal úspěšně maskovat od roku 2014. Zpočátku se malware zaměřoval pouze na krádeže citlivých dat. Za 3 roky se ale několikrát vyvinul, přičemž jeho současná verze umožňuje útočníkovi z infikovaného počítače nejenom krást data, ale i mapovat stisky na klávesnici, pořizovat screenshoty obrazovky či v zařízení spustit libovolný kód. Pro odvedení pozornosti oběti zasílali útočníci v příloze také obrázek, zprávu a výhružkách severokorejského režimu či kontakty na členy mezinárodních organizací.

Reklama
Reklama
Obrázek ke článku Pouze jedna z deseti lokálních firem ví o pokutách plynoucích z GDPR

Pouze jedna z deseti lokálních firem ví o pokutách plynoucích z GDPR

Trend Micro, celosvětový lídr v oblasti bezpečnostních řešení a VMware, přední světový dodavatel cloudové infrastruktury a řešení pro podnikovou mobilitu, oznámily výsledky výzkumu mezi českými a slovenskými manažery zodpovědnými za ochranu osobních údajů, který zjišťoval, jak jsou připraveni na nové nařízení o ochraně osobních údajů (GDPR). Většina firem v České republice a na Slovensku nad 100 zaměstnanců je již s novým nařízením GDPR obeznámena. Výzkum provedený ve spolupráci s agenturou Ipsos ukázal, že téměř 8 firem z 10 o nařízení ví, přičemž jeho znalost je o něco vyšší na Slovensku (89 %) než v České republice (69 %).

Obrázek ke článku Vyděračský software Locky se vrací, tváří se jako potvrzení platby, odhalil tým Cisco Talos

Vyděračský software Locky se vrací, tváří se jako potvrzení platby, odhalil tým Cisco Talos

Jeden z nejznámějších ransomwarů, Locky, se vrací. Po většinu roku 2016 patřil mezi nejrozšířenější vyděračské softwary. Ke svému šíření využíval emailové kampaně s infikovanými přílohami. Ransomware Locky byl rozesílán prostřednictvím botnetu (internetový robot zasílající spamy) Necurs. Jeho aktivita na konci roku 2016 téměř upadla a spolu s ní i šíření ransomwaru Locky. Před několika týdny se Necurs opět probudil a začal posílat spamy nabízející výhodný nákup akcií. Dne 21. dubna zaznamenal bezpečnostní tým Cisco Talos první velkou kampaň ransomwaru Locky prostřednictvím botnetu Necurs za posledních několik měsíců.

Obrázek ke článku Dovozci baterií mění logistiku, letadlo nahrazuje námořní doprava

Dovozci baterií mění logistiku, letadlo nahrazuje námořní doprava

Dovozci baterií do mobilů či notebooků upouštějí od letecké přepravy zboží. V letošním roce plánují dovézt až 80 % produktů lodí. Přitom před 5 lety byla většina baterií do mobilních přístrojů dovezených do České republiky přepravována letadlem. Za proměnou způsobu transportu akumulátorů stojí zpřísnění pravidel pro leteckou přepravu, která přinášejí vyšší náklady i náročnou agendu.

loadingtransparent (function() { var po = document.createElement('script'); po.type = 'text/javascript'; po.async = true; po.src = 'https://apis.google.com/js/plusone.js'; var s = document.getElementsByTagName('script')[0]; s.parentNode.insertBefore(po, s); })();
Hostujeme u Českého hostingu       ISSN 1801-1586       ⇡ Nahoru Webtea.cz logo © 20032017 Programujte.com
Zasadilo a pěstuje Webtea.cz, šéfredaktor Lukáš Churý