Absolutní ciferný součet mocnin – Matematika – Fórum – Programujte.com

Položím dotaz a pak řeknu, na co jsem přišel.

Existuje něco jako absolutní ciferný součet (ACF)? To znamená, že pokud ciferný součet výjde větší jak 9, opět se na něj aplikuje ciferný součet, dokud nevyjde číslo v rozmezí 0-9. Pokud takový pojem neexistuje, tak si ho tak pracovně nazveme.

Nyní k tomu, k čemu jsem náhodou dospěl.
V hodině chemie jsem se opravdu nudil a z nudy jsem začal psát mocniny dvojky - začátek umíte každý zpaměti, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512... takhle jsem pokračoval asi ještě 20 čísel. Dál jsem pak udělal výše definovaný absolutní ciferný součet jednotlivých čísel a zjistil jsem, že se onen absolutní ciferný součet periodicky opakuje - 1,2,4,8,7,5 - to celé v nekonečné periodě. Ze zajimovosti jsem to udělal z mocninami trojky, zde ACF vycházel 1,3,9,9,9,9... a nekonečno devítek. Jak jsem záhy zjistil, perioda se dá najít v ACF mocnin jakéhokoliv čísla. A co více, perioda se dokonce nachází v ACF vzrůstajících čísel stejné mocniny (2^2,3^2,4^2,5^2, ACF se opět periodicky opakuje). Pokud to přesně nechápete, ukáži vám následující tabulku:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 

1 2 4 8 7 5 1 2 4 8 

1 3 9 9 9 9 9 9 9 9 

1 4 7 1 4 7 1 4 7 1 

1 5 7 8 4 2 1 5 7 8 

1 6 9 9 9 9 9 9 9 9 

1 7 4 1 7 4 1 7 4 1 

1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 

1 9 9 9 9 9 9 9 9 9 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 

1 2 4 8 7 5 1 2 4 8 

1 3 9 9 9 9 9 9 9 9 

1 4 7 1 4 7 1 4 7 1 

1 5 7 8 4 2 1 5 7 8 

1 6 9 9 9 9 9 9 9 9 

1 7 4 1 7 4 1 7 4 1 

1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 

1 9 9 9 9 9 9 9 9 9 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 

1 2 4 8 7 5 1 2 4 8 

1 3 9 9 9 9 9 9 9 9 

1 4 7 1 4 7 1 4 7 1 

1 5 7 8 4 2 1 5 7 8 

1 6 9 9 9 9 9 9 9 9 

1 7 4 1 7 4 1 7 4 1 

1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 

1 9 9 9 9 9 9 9 9 9 

#include <iostream>

#include <cmath>



const int VELIKOSTY=10;

const int VELIKOSTX=50;



using namespace std;



unsigned long int cif_souc(unsigned long int x);



unsigned long int mocnina(unsigned  long int x,unsigned long int y);



int main(){

	unsigned long int pole[VELIKOSTX][VELIKOSTY];



	for (int i=0;i<VELIKOSTX;i++)

		for (int j=0;j<VELIKOSTY;j++)

			pole[i][j]=mocnina(i,j);



	for (int i=0;i<VELIKOSTX;i++)

		for (int j=0;j<VELIKOSTY;j++)

		//cifernej soucet

			pole[i][j]=cif_souc(pole[i][j]);





	for (int i=0;i<VELIKOSTX;i++)

	{

		for (int j=0;j<VELIKOSTY;j++)

			cout << pole[i][j] << " ";

		cout << endl;

	}



    cin.get();

	return 0;

}



unsigned long int cif_souc(unsigned long int x)

{

	if (x<10) return x;

	unsigned long int souc=0;

	while (x>=1)

	{

		souc+=x%10;

		x=x/10;	

	}

	x=souc;

	return cif_souc(x);

}



unsigned long int mocnina(unsigned long int x,unsigned long int y)

{

	unsigned long int vysledek=x;

	if (y<1) return 1;

	for (int i=1;i<y;i++)

		vysledek*=x;

	return vysledek;

}

no... vypadá to zajímavě...
absolutní ciferný součet existuje a říká se tomu ciferace http://cs.wikipedia.org/wiki/Ciferace

Vypádá, že to je dost zajímavá věc, která se objevuje také u jiných funkcích než mocniny.

Google napoví při hledání výrazů: digital root; digital root power.

Odporúčam si prečítať článok na anglickej wikipédii - nazýva sa to tuším digital root. Vtip je v tom, že tento ciferný koreň sa dá vypočítať z akéhokolvek celého čísla úplne jednoducho - je to zvyšok po delení deviatkou (nula sa interpretuje ako 9). Z tohoto potom vyplýva ten jav opakovania sa ciferného koreňa pri násobkoch/mocninách.

Uz dlhsiu dobu chcem vyskusat niektoru s kniznic pracujucich s velkymi cislami a toto je skvela prilezitost. Pre zaujemcou pripajam program na generovanie ACS postupnosti pre rozne mocniny. Program pouziva kniznicu bigint (http://mattmccutchen.net/bigint/).

No vida, a přece jsou hodiny chemie k něčemu. Nejprv mě tvůj článek dost zujal, trochu jsem nad tím přemýšlel a...

funkce ACF se nejspíš nikde nepoužívá, protože je to příliš velká ztráta informace o vstupní hodnotě, je to jako bys pásku všech přirozených čísel (nekonečně dlouhou) omotal kolem kružnice s obvodem 9. Potom každé číslo máš v intervalu <1;9>. Co se týče periody i to je prosté, protože si množinu přirozených čísel transformoval na opakující se devět číslic, je zřejmé, že i všechny operace s nimi jež se opakují (opakované sčítání je násobení a opakované násobení je mocnění) budou vykazovat určitou periodu. Bohužel musím konstatovat, že v tom není nic pro matematiku užitečného (navzdory tomu jak to zprvu vypadá zajímavě).

I když, já se teď zabývám prvočísly a tvůj článek mě přivedl na nápad aplikovat něaký druh ciferného součtu či jiné ciferné analýzy na vzdálenosti sousedních prvočísel. Takže tímto ti děkuji.