Finanční matematika – Matematika – Fórum – Programujte.com

Ahoj všem , dostal jsem za úkol slovní úlohu a potřebuji napsat postup ....musí k tomu být i výpočet a slovní postup ke každému kroku :( :( nevím si s tím rady

Příklad zní :  Půjčím si u banky 1 000 000 Kč  na 6% úrok . Chci půjčku splatit v 6 stejných splátkách v 6 letech .

#1 Dadny
Čekáš, že ho vypočítáme?

Pokud se ti nechce počítat:
https://www.google.cz/#…

je otázka, jestli úrok z celé dlužné částky (používá často nebankovní sektor) nebo z nesplacené jistiny (dnes již většina bank). Dá se to odvodit selským rozumem: každý rok ti částka vzroste o úrok a klesne o splátku. Po šesté splátce musí být zůstatek 0. Když si to rozepíšeš, dostaneš (asi lineární) rovnici o jedné neznámé.

hu

čau,

pokud se ten úrok bude počítat jen z nesplacené částky, tak to bude takto:

u = koeficient navýšení = 1 + úrok = 1,06
p = výše půjčky = 1.000.000,-
y = jednotlivá splátka
------------------------------------------------

výše dluhu po 1. roce = výše půjčky * koeficient navýšení - splátka
výše dluhu po 1. roce = p * u - y

výše dluhu po 2. roce = výše dluhu po 1. roce * koeficient navýšení - splátka
výše dluhu po 2. roce = výše dluhu po 1. roce * u - y
výše dluhu po 2. roce = (p * u - y) * u - y
výše dluhu po 2. roce = p * u^2 - y * (u + 1)

výše dluhu po 3. roce = výše dluhu po 2. roce * koeficient navýšení - splátka
výše dluhu po 3. roce = výše dluhu po 2. roce * u - y
výše dluhu po 3. roce = (p * u^2 - y * (u + 1)) * u - y
výše dluhu po 3. roce =  p * u^3 - y * (u^2 + u + 1)

výše dluhu po 4. roce = výše dluhu po 3. roce * koeficient navýšení - splátka
výše dluhu po 4. roce = výše dluhu po 3. roce * u - y
výše dluhu po 4. roce = (p * u^3 - y * (u^2 + u + 1)) * u - y
výše dluhu po 4. roce =  p * u^4 - y * (u^3 + u^2 + u + 1)

výše dluhu po 5. roce = výše dluhu po 4. roce * koeficient navýšení - splátka
výše dluhu po 5. roce = výše dluhu po 4. roce * u - y
výše dluhu po 5. roce = (p * u^4 - y * (u^3 + u^2 + u + 1)) * u - y
výše dluhu po 5. roce =  p * u^5 - y * (u^4 + u^3 + u^2 + u + 1)

výše dluhu po 6. roce = výše dluhu po 5. roce * koeficient navýšení - splátka
výše dluhu po 6. roce = výše dluhu po 5. roce * u - y
výše dluhu po 6. roce = (p * u^5 - y * (u^4 + u^3 + u^2 + u + 1)) * u - y
výše dluhu po 6. roce =  p * u^6 - y * (u^5 + u^4 +u^3 + u^2 + u + 1)
-----------------------------------------------------------------------
jelikož po 6. roce má být dluh splacen, musí platit:
výše dluhu po 6. roce = 0

takže platí i toto:
p * u^6 - y * (u^5 + u^4 +u^3 + u^2 + u + 1) = 0

vyjádření y (splátky)
y = p * u^6 / (u^5 + u^4 +u^3 + u^2 + u + 1)

po dosazení p a u
y = 203362,6285

Půjčka bude splacena 6 pravidelnými splátkami ve výši 203362,6285 kč.

Zkouška:
rok 0: výše dluhu = 1000000,0000
rok 1: výše dluhu = 1000000,0000 * 1,06 - 203362,6285 = 856637,3715
rok 2: výše dluhu =  856637,3715 * 1,06 - 203362,6285 = 704672,9853
rok 3: výše dluhu =  704672,9853 * 1,06 - 203362,6285 = 543590,7360
rok 4: výše dluhu =  543590,7360 * 1,06 - 203362,6285 = 372843,5517
rok 5: výše dluhu =  372843,5517 * 1,06 - 203362,6285 = 191851,5363
rok 6: výše dluhu =  191851,5363 * 1,06 - 203362,6285 = 0,0000

#4 Kapitán Bobr

A jak by si u tohoto vypočetl  jaký zisk  bude mít banka  a  kolik získá na dani ( od banky) stát ?   Já došel  k  truchu jinému výpočtu než ty ...ale lámu si hlavu s těma 2 otazkama 

Předložené řešení počítá s úročením celé dlužné částky (často používá nebankovní sektor nebo to tak funguje u kreditních karet). Pokud úročíš nesplacenou jistinu, splátka zaplatí celý úrok a zbylá část splátky poníží jistinu

po roce při první splátce máš:
nespl. jistina 1 000 000,  úrok 6% = 60 000, z jistiny ti po splátce zůstane 1 000 000 - (splátka - 60 000)

po druhém roce při druhé splátce máš:

nespl. jistina 1 000 000 - (splátka - 60 000), úrok činí 6% z této částky a jistina opět klesne o rozdíl splátka - úrok

atd. až po 6 splátce je nesplacená jistina 0.

Popsaným způsobem funguje běžná půjčka u banky, úvěr na auto u Škofinu nebo běžná hypotéka.

Hrubý zisk z transakce lze určit tak, že sečteš všechny splátky a odečteš z toho půjčenou částku. Kolik získá na dani stát - nastuduj si podvojné účetnictví a zákon o dani z příjmu fyzických osob (snad si ten název pamatuju přesně). Problém je, že zisk a daň ovlivňuje spousta faktorů jako jsou odpisy, mzdy, náklady.

hu

#5 Twitter
zisk banky a jak velkou daň banka odvede nezjistíš, protože neznáš náklady banky (mzdy, vybaveni, nájem,...).

Banka na úrocích získá (získá nerovná se zisk banky, který se daní):

počet splátek * výše splátky - půjčená šástka

6 * 203362 - 1000000 = 220172,-

A jak do toho dosadím když znám jenom  výši půjčené částky a koeficient 

y = p * u^6 / (u^5 + u^4 +u^3 + u^2 + u + 1)

#8 Nikola
cau,

p = 1000000 = půjčená částka

u = 1,06 = koeficient

žádná jiná proměnná tam není, možná tě mate toto:

u^6 to je "u na šestou" = "koeficient na šestou" = u*u*u*u*u*u = 1,06*1,06*1,06*1,06*1,06*1,06

u^5 to je "u na pátou" = "koeficient na pátou" = u*u*u*u*u = 1,06*1,06*1,06*1,06*1,06

atd.

Už jsem na to přišel ....a posledni otazka zní  to ja dosazujes   do ty zavorky 

p * u^5 - y * (u^4 + u^3 + u^2 + u + 1)  to se děla proc 

#10 Dandy
Nevím jestli dobře rozumím tvé otázce.

Jestli ses ptal na to, jak jsem z tohoto výrazu:

(p * u^4 - y * (u^3 + u^2 + u + 1)) * u - y

dostal tento výraz
p * u^5 - y * (u^4 + u^3 + u^2 + u + 1)

tak jednoduše se celá závorka (p * u^4 - y * (u^3 + u^2 + u + 1))  vynásobila  u

p * u^5 - y * (u^4 + u^3 + u^2 + u)  - y

a v druhém kroku jsem to - y co je na konci výrazu vytknul do závorky (tam se to objeví jako +1)
p * u^5 - y * (u^4 + u^3 + u^2 + u + 1)

A to celé jsem udělal proto, abych ten výraz udělal co nejjednoduší a abych mohl jednoduše vyjádřit y

NN myslel jsem tohle 

p * u^3 - y * (u^2 + u + 1)    

p je vyse splatky , u je koeficient a y je splatka ...a proc se to pak nasobi jeste tim co je v zavorce 

#12 Dandy

p * u^3 - y * (u^2 + u + 1)

to co je v závorce představuje "zhodnocení" splátek, které byly v průběhu časy spláceny.

ono "zhodnocení" není úplně nejlepší výraz. Jedná se o to, že když splácíš půjčku ve více splátkách, tak průběžně snižujěš jistinu a úrok z půjčené částky je v průběhu času nižší (platí pouze v případě, že splátka je vyšší než úrok, ale to bývá prakticky vždycky, jinak by nešla půjčka splatit, jelikož by splátky nepokryly ani uroky). Čili čím dřív splátku splatíš tím lépe musí se to nějak v tom vzorci projevit a to je právě ten výraz v závorce.

Pro vysvětlení roznásobím tu závorku

p * u^3      - y * u^2       - y * u         - y

p * u^3    = výše dluhu po 3 letech (složené úročení)     

- y * u^2  = splátka po 1. roku; tato splátka ukrojí ze samotného dluhu p * u^3 více, protože splátka byla splacena o 2 roky dříve než k jakému datu byl dluh vypočten; proto tam je u^2 to je úrok za 2 roky, jež byl ušetřen o 2 roky dřívější splátkou

- y * u     = splátka po 2. roku; tato splátka ukrojí ze samotného dluhu p * u^3 více, protože splátka byla splacena o 1 roky dříve než k jakému datu byl dluh vypočten; proto tam je u to je úrok za 1 rok, jež byl ušetřen o 1 rok dřívější splátkou   

- y         = splátka po 3. roku, tato splátka není nijak "zhodnocena", protože byla uskutečněna ve stejné době ke které byl vypočten dluh p * u^3

#13 Kapitán Bobr

oprava této věty:
Čili čím dřív splátku splatíš tím lépe musí se to nějak v tom vzorci projevit a to je právě ten výraz v závorce.

Čili čím dřív splátku splatíš tím lépe a  musí se to nějak v tom vzorci projevit a to je právě ten výraz v závorce.

#14 Kapitán Bobr
čím dříve splatíš, tím větší poplatek za předčasné splacení úvěru ti napaří   

hu

#14 Kapitán Bobr
vidis to me ani nenapadlo ....ja jsem prave nad tim premyslel ze to co je v ty zavorce  se musí k to pripocitat ....dobre uz to chapu  ...jo a prosimte posledni dotaz na tebe ..kdyby se mi ucitel ptal  co zname  tento postup nebo vyjadreni 

výše dluhu po 2. roce = výše dluhu po 1. roce * koeficient navýšení - splátka
výše dluhu po 2. roce = výše dluhu po 1. roce * u - y
výše dluhu po 2. roce = (p * u - y) * u - y
výše dluhu po 2. roce = p * u^2 - y * (u + 1)

#16 Dandy

ten postup jsem udělal takto, aby to bylo co nejvíce pochopitelné, v tom jsem očividně neuspěl.

Při normálním počítání není potřeba to takovýmto způsobem dopodrobna rozepisovat.

výše dluhu po 2. roce = výše dluhu po 1. roce * koeficient navýšení - splátka

Ta první rovnice vyjadřuje výši dluhu spíše slovně a postupně se jednotlivé prvky vyjádří pomocí dříve definovaných/vypočtených  proměnných/výrazů (koeficient navýšení se nahradí za u, splátka za y, výše dluhu po 1. roce byla dříve vypočtena jako toto p * u - y)

Po dosazení a upravení rovnice tedy nakonec vyjde tento tvar:

výše dluhu po 2. roce = p * u^2 - y * (u + 1)