Stacionární body a extrémy – Matematika – Fórum – Programujte.com

Zdravím, potřeboval bych kdyby mi někdo dokázal pomoci a napsal mi postup a výsledek/jak k tomu došel u příkladu kde mám nalézt stacionární body dané funkce a rozhodnout o extrémech v nich. Předešlý příklad jsem spočítal, ale zde si nevím rady. Za případnou pomoc odměním i bodíky  [:)]  

funkce: z = x² + (y-1)²

#1 Vojtěch
 

z = x^2+(y-1)^2

Uděláš si obě první parciální derivace, proložíš je nule a spočítáš.

z'(x) = 2x      = 0 => x = 0
z'(y) = 2*(y-1) = 0 => y = 1

Spočítané x, y jsou souřadnice stacionárního bodu -> A[0,1].
Dosadíš bod do původní rovnice a dostaneš hodnotu v daném bodě.

z = 0^2+(1-1)^2 = 0, hodnota v A je tedy 0. => A[0,1,0].

Nyní musíš udělat druhé derivace, dvě ryzí a poté podle xy, nebo yx.

z''(xx) = 2
z''(yy) = 1
z''(xy) = 0

Druhá ryzí derivace podle x vyšla 2, kladná, očekává se tedy,
že v bodě A bude lokální minimum, ale ještě to není jisté.

Musíš si z druhých derivací sestavit matici a udělat její diskriminant.

| z''(xx) z''(xy) |
| z''(xy) z''(yy) |

D = z''(xx) * z''(yy) - (z''(xy))^2 = 2 * 1 - 0^2 = 2.

Protože diskriminant vyšel kladný, extrém se v bodě skutečně nachází.
Jak již bylo řečeno, protože druhá ryzí derivace podle x vyšla kladná,
nachází se zde lokální minimum.

Výsledkem je tedy: V bodě A[0,1] se nachází lokální minimum a má hodnotu 0.

Jenom pridam vysvetleni, jak dosel ondrej k nekterym vysledkum.

z = x^2+(y-1)^2

z'
z' (dx) = 2 * x // pri derivaci podle dx je y konstanta a derivace je 0
z' (dy) = (y^2 - 2 * y + 1)' = 2 * y - 2 // obdobne pro x pri dy

z' = 0
2 * x = 0 => x = 0
2 * y - 2 = 0 => y = 1

z''
z'' (dx) = (z'(dx))' = 2 // tak to je jasne, asi
z'' (dy) = (z'(dy))' = 2 // tady si myslim, ze ma chybu

A s ostatni nevim, ten obor nestuduji.

#3 peter
Jo, druhá ryzí derivace podle y má vyjít 2. Ty to máš dobře. Na celkovém výsledku se nic nezmění, akorát determinant vyjde 4 namísto 2, což je stále větší než 0.